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几何学中的名词

本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。

半短轴是几何学中的名词，用于椭圆和双曲线。与之对应的就是长轴，半短轴为短轴的一半，一般描述椭圆的最短的直径。

中文名: 半短轴
外文名: Semi-major and semi-minor axes

领域: 数学
定义: 几何学中的名词

椭圆

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一个椭圆的长轴是内部最长的直径，它会通过中心和两个焦点，末端结束于型状最宽处的点。半长轴是长轴的一半，始于中心点经过一个焦点并终结于椭圆的边界。在圆型的特殊状况下，半长轴就是半径。

半长轴的长度

与半短轴的关系可以经由离心率和半正焦弦推导如下：

抛物线可以被视为是椭圆的极限，将一个焦点固定，而另一个焦点被随意的移至无穷远处的方向上，但

仍保持不变。因此

和

趋于无限大，

仍比

长。

半长轴是椭圆的一个焦点至边界的最大距离和最小距离的平均值。考虑在极座标中的方程式，其中一个焦点位于原点，另一个焦点在x轴上，

均值由

和

，是

半虚轴

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双曲线半短轴的长度是通过双曲线顶点的切线到任一条渐近线的距离，如果是在y轴的方向上，则是在双曲线公式中的b：

与半长轴的关系可以经由离心率表示如下：

注意，双曲线的半短轴可以比半长轴还要长，双曲线的共轭轴与半长轴在相同的方向上延伸。^[1]

半实轴

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双曲线的半长轴是两个分支之间距离的一半。如果a是在X-轴的方向上，则方程式可以表示为：

在这个项目中的半正焦弦和离心率如下：

双曲线的横轴延伸方向与半长轴的方向一致。^[1]

天文学

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轨道周期

在太空动力学，以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期，是：

此处：

，是轨道的半长轴，

是标准重力参数。

无论离心率是如何，半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。

在天文学，是轨道的轨道元素中最重要的，它决定了轨道周期。对太阳系内的天体，半长轴与轨道周期的关系由开普勒第三定律（原本只是经验公式）来描述：

此处T是周期，单位为年；a是半长轴，单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式：

此处G是重力常数，M是中心天体的质量，而m是轨道上天体的质量。通常，当中心天体的值量远大于环绕的天体时，m的质量可以忽略不计。座著这样的假设和简化之后，开普勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。

值得注意的是，在轨道上的天体和主要的天体环绕着质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离，因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059，地心的月球轨道半长轴是384,400公里；另一方面，"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里，两著的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，两者之和是1.022公里/秒；同样的，以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。

平均距离

经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离，其实这样说是不够精确的，这与如何取得平均值有关。

对偏近点角（q.v.）的平均距离的确就是半长轴。

对真近点角（从焦点上测量的真实轨道角度）的结果，说也奇怪，是轨道半短轴：

。

最后，是对平近点角（以角度表示，经过近心点之后所经历轨道周期的分数），是对时间的平均数（通常是对门外汉所谓的"平均"）：

。

椭圆的平均半径，是以几何上的中心来测量的，其值为

。

时间的平均值与半径成反比，

，是

。^[1]

能量：由状态向量的半长轴计算

在太空动力学半长轴，可以从轨道状态向量得到：

，（椭圆轨道）和

，（双曲线弹道）和

(特殊轨道能量）和

，（标准重力参数），此处：

，是从速度向量得到的轨道上物体的轨道速度，

，是在迪卡儿的参考座标系上相对于位置向量用于计算的轨道元素（即，对环绕地球的物体是以地球中心和赤道为基准，或对环绕太阳的天体是以太阳中心和黄道为基准)，

，是重力常数，

，是中心天体的质量。

要注意的是，对特定的中心天体和总比能，无论离心率是多少，半长轴是一个定值。换言之，对特定的一个中心天体和半长轴，则具有的总比能是一定的。^[1]

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